题目内容
【题目】已知函数,若在定义域内存在
,使得
成立,则称
为函数
的局部对称点.
(1)证明:函数在区间
内必有局部对称点;
(2)若函数在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)设,可求出
的解为
,从而可知当
时,
成立,即可证明函数
在区间
内必有局部对称点;
(2)由题意知在R上有解,令
,则
在
上有解,结合二次函数零点的分布,分别讨论方程在
上根的个数,得到关于
的不等式,从而可求出实数m的取值范围.
证明:(1)设,则
,令
,则
,
解得,即当
时,
,即
成立,
即函数在区间
内必有局部对称点
解:(2),则
在R上有解.
即在R上有解,
于是(*)在R上有解.
令,则
,所以方程(*)变为
,
设,则
,
由,
在
上单调递增知,
,
,
,
即此时,所以函数
在
上单调递减;
设,则
,
由,
在
上单调递增知,
,
,
,
即此时,所以函数
在
上单调递增;
故,从而已知即
在
上有解.
设(
),分为两种情况:
①当方程有在唯一解时:
则或
,
解得,
;解
得,
,
则;
②当方程在有两个解时:
.
综上得.
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