Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C相切，圆心C的坐标为

（1）求圆C的方程；

（2）设直线y=x+m与圆C交于M、N两点.

①若，求m的取值范围；

②若OM⊥ON，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或

【解析】

（1）假设圆的方程，利用以为圆心的圆与直线相切，即可求得圆C的方程；
（2）①直线圆C交于M、N两点，根据圆心到直线的距离，半径，弦长之间的关系，得到关系式求出的范围.
②设，联立直线与圆的方程，通过韦达定理以及判别式，通过OM⊥ON，求出的值即可.

解：（1）设圆的方程是，
依题意，直线与圆C相切，
∴所求圆的半径，
∴所求的圆方程是；
（2）①圆心到直线的距离，

，

解得；
②设，
，
消去，得到方程，
由已知可得，判别式，

化简得，
①，
由于OM⊥ON，可得
又，

所以②，
由①，②得或，满足，
故或.