题目内容
【题目】如图,一张坐标纸上一已作出圆及点
,折叠此纸片,使
与圆周上某点
重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线
的交点为
,令点
的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线与轨迹
交于两个不同的点
,且直线
与以
为直径的圆相切,若
,求
的面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)折痕为的垂直平分线,则
,推导出
的轨迹是以
为焦点的椭圆,且且
,
,由此能求出的轨迹
的方程.
(2)与以
为直径的圆
相切,,从而
,由
,得
,由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式,能求出
的面积的取值范围.
试题解析:
(1)折痕为的垂直平分线,则
,由题意知圆
的半径为
,
∴,
∴的轨迹是以
为焦点的椭圆,且
,
,
∴,∴
的轨迹
的方程为
.
(2)与以
为直径的圆
相切,则
到
即直线
的距离:
,即
,
由,消去
,得
,
∵直线与椭圆交于两个不同点,
∴,
,
设,
,则
,
,
,
又
,∴
,∴
,
设,则
,∴
,
,
∵关于
在
单调递增,∴
,∴
的面积的取值范围是
.
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