Question

13．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．
（Ⅰ）求证：QC²-QA²=BC•QC；
（Ⅱ）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割线定理得：QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC=QC²-BC•QC，即可证明QC²-QA²=BC•QC；
（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，
∴由切割线定理得：QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC=QC²-BC•QC．…（4分）
∴QC²-QA²=BC•QC．…（5分）
（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，
∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，
∴AC=BC=5，…（6分）
又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC，
∴QC=9．…（8分）
由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{QA}{QC}$，…（9分）
∴$AB=\frac{10}{3}$．…（10分）

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．