Question

8．设函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}+x（{a＞-\frac{1}{4}}）$．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=0，m＞0时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合直线平行的条件，解方程可得a；
（Ⅱ）求出导数，对a讨论，当a=0时，当-$\frac{1}{4}$＜a＜0时，当a＞0时，由导数的符号，确定函数的单调性；
（Ⅲ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x²有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}+x（{a＞-\frac{1}{4}}）$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1，
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-a+1=2-a，
由切线与直线y=x平行，可得2-a=1，解得a=1；
（Ⅱ）当a=0时，f′（x）=$\frac{x+1}{x}$＞0，即有f（x）在（0，+∞）递增；
当-$\frac{1}{4}$＜a＜0时，f′（x）=$\frac{-a{x}^{2}+x+1}{x}$（x＞0）＞0恒成立，
即有f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，1+4a＞0，设-ax²+x+1=0的两根为x₁=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2a}$＜0，
f′（x）＞0解得x₂＜x＜x₁，由x＞0，则0＜x＜x₁，
f′（x）＜0解得x＞x₁，或x＜x₂，由x＞0，则x＞x₁．
综上可得，当-$\frac{1}{4}$＜a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$）上递增，在（$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，+∞）递减；
（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2mx-2m}{x}$，令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，所以x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$＜0（舍去），x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$，
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增，
当x=x₂时，g（x）取最小值g（x₂）．                
则$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{2}）=0}\\{g′（{x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2mln{x}_{2}-2m{x}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-m{x}_{2}-m=0}\end{array}\right.$，
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，
所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$=1，
解得m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间以及极值、最值，同时考查分类讨论的思想方法和函数方程的思想，考查运算能力，属于中档题．