题目内容

14.已知函数f(x)=$\sqrt{3}$tan$\frac{πx}{ω}$(ω>0)
(1)当ω=4时,求f(x)的最小正周期及单调区间;
(2)若|f(x)|≤3在x∈[-$\frac{π}{3},\frac{π}{4}$]上恒成立,求ω的取值范围.

分析 (1)当ω=4时,根据正切函数的周期公式和单调性即可求f(x)的最小正周期及单调区间;
(2)根据|f(x)|≤3在x∈[-$\frac{π}{3},\frac{π}{4}$]上恒成立,建立了周期和最值之间的关系即可.

解答 解:(1)当ω=4时,f(x)=$\sqrt{3}$tan$\frac{π}{4}x$,
则f(x)的最小正周期T=$\frac{π}{\frac{π}{4}}=4$,
由kπ$-\frac{π}{2}$<$\frac{π}{4}x$<kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
得4k-2<x<4k+2,k∈Z,
即函数的单调递增区间为(4k-2,4k+2),k∈Z;
(2)∵ω>0,
∴函数f(x)的周期T=$\frac{π}{\frac{π}{ω}}=ω$,
∴若|f(x)|≤3在x∈[-$\frac{π}{3},\frac{π}{4}$]上恒成立,
则f(x)在x∈[-$\frac{π}{3},\frac{π}{4}$]上为单调递增函数,
满足$-\frac{π}{3}$>-$\frac{1}{2}T$=-$\frac{ω}{2}$,
∴ω>$\frac{2π}{3}$,
∵|f($-\frac{π}{3}$)|>f($\frac{π}{4}$),
此时满足f(-$\frac{π}{3}$)≥-3,
即f(-$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$tan(-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$)≥-3,
即tan(-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$)≥-$\sqrt{3}$,
则-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$≥$-\frac{π}{3}$,
则$\frac{π}{ω}$≤1,
即ω≥π,
综上ω≥π.

点评 本题主要考查正切函数的周期和单调性的应用,综合考查正切函数的图象和性质.

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