Question

1．已知直线l：y=3x+3，那么：
（1）直线l关于点M（3，2）的对称的直线的方程为3x-y-17=0；
（2）l关于直线x+y+2=0对称的直线的方程为x-3y-1=0．

Answer 1

分析 （1）直线y=3x+3关于点M（3，2）对称的直线l的方程，可以利用坐标转化方法解答，即设对称的直线上的任意一点为（x，y），关于（3，2）的对称点（6-x，4-y）在直线y=3x+3上，从而求对称的直线方程；
（2）设P（x，y）为所求直线上的任意一点，则P关于直线x+y+2=0对称点P′（x′，y′）在直线y=3x+3，由对称性可解得$\left\{\begin{array}{l}x′=-y-2\\ y′=-x-2\end{array}\right.$，代入变形可得答案．

解答 解：设所求直线上的任意点坐标（x，y）关于点M（3，2）对称点（6-x、4-y），
因为对称点在已知直线上，
所以将y=3x+3中的x、y分别代以（6-x）、（4-y），得4-y=3（6-x）+3，
即3x-y-17=0．
（2）设P（x，y）为所求直线上的任意一点，
则P关于直线x+y+2=0对称点P′（x′，y′）在直线y=3x+3，
∴必有y′=3x′+3 （*）
由对称性可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+x′}{2}+\frac{y+y′}{2}+2=0\\ \frac{y-y′}{x-x′}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x′=-y-2\\ y′=-x-2\end{array}\right.$，
代入（*）式可得（-x-2）=3（-y-2）+3
化简可得x-3y-1=0，
∴所求对称直线的方程为：x-3y-1=0；
故答案为：3x-y-17=0，x-3y-1=0

点评 本题解答方法较多，可以利用中点坐标转移到所求直线上，也可以按照求轨迹方程方法解答；还可以求一点和斜率来解．