Question

6．已知数列{a_n}、{b_n}是正项数列，{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，{b_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且a₁=b₁=1，a₂=b₂+1，a₃=b₃-2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{{b}_{n+1}}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设d_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n+1}}$，若d_n≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过设公差d、公比q，利用a₂=b₂+1、a₃=b₃-2计算可知q=d=3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，裂项可知c_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$，并项相加即得结论；
（3）通过（1）可知d_n=$\frac{9{n}^{2}-12n+4}{{3}^{n}}$，通过记f（x）=$\frac{9{x}^{2}-12x+4}{{3}^{x}}$并利用导数考查其单调性可知f（x）在区间（-∞，$\frac{2}{3}$）、（$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$，+∞）上单调递减，在区间（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$）上单调递增，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，a₂=1+d，a₃=1+2d，
b₂=q（q＞0），b₃=q²，
∵a₂=b₂+1，a₃=b₃-2，
∴1+d=1+q，1+2d=q²-2，
解得：q=d=3或q=d=-1（舍），
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴c_n=$\frac{{b}_{n+1}}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$，
∴数列{c_n}的前n项和为$\frac{2}{3-1}$-$\frac{2}{{3}^{2}-1}$+$\frac{2}{{3}^{2}-1}$-$\frac{2}{{3}^{3}-1}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{{3}^{n+1}-1}$；
（3）由（1）可知d_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{9{n}^{2}-12n+4}{{3}^{n}}$，
记f（x）=$\frac{9{x}^{2}-12x+4}{{3}^{x}}$，则f′（x）=$\frac{（3x-2）[6-（3x-2）ln3]}{{3}^{x}}$，
令f′（x）=0可知：x=$\frac{2}{3}$或x=$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$，
∴当x＜$\frac{2}{3}$或x＞$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$时f′（x）＜0，当$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$时f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（-∞，$\frac{2}{3}$）、（$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$，+∞）上单调递减，在区间（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$）上单调递增，
∵2＜$\frac{2}{3}+\frac{2}{ln3}$＜3，f（2）=$\frac{16}{9}$，f（3）=$\frac{49}{27}$，
∴m≥f（3）=$\frac{49}{27}$，
于是实数m的取值范围是[$\frac{49}{27}$，+∞）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及利用导数判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．