Question

6．设命题p：（4x-3）²≤1；命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，
（1）p是q的什么条件？
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据命题之间的关系判断即可；
（2）分别求出关于p，q成立的x的范围，问题转化为q是p的必要不充分条件，根据集合的包含关系，解不等式组即可求出a的范围．

解答 解：（1）因为￢p是￢q的必要而不充分条件，
其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，
即p是q的充分不必要条件；…（5分）
（2）∵|4x-3|≤1，
∴$\frac{1}{2}≤x≤1$．  
 解x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．
因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，
即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．
∴[$\frac{1}{2}$，1]?[a，a+1]．
∴a≤$\frac{1}{2}$且a+1≥1，得0≤a≤$\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是：[0，$\frac{1}{2}$]．…（10分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．