Question

7．记事件A为“直线ax-by=0与圆（x-2$\sqrt{2}$）²+y²=6相交”．
（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为a，b，求事件A发生的概率．
（2）若实数a、b满足（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²≤4，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a＜$\sqrt{3}b$，由列举法求出事件A包含的基本事件个数m=6+5+4+3+2+1=21，而总的方法种数为n=6×6=36，由此能求出事件A发生的概率．
（Ⅱ）依题意为几何概型，a＜$\sqrt{3}$b与（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²≤4的公共面积为直线a=$\sqrt{3}b$与圆（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=4相交的弓形的面积，由点到直线的距离公式可得圆心（$\sqrt{3}$，1）在直线a=$\sqrt{3}b$上，由此能求出事件A发生的概率．

解答 解：（1）由题意可得：直线ax-by=0与圆（x-2$\sqrt{2}$）²+y²=6相交，
所以圆心（2$\sqrt{2}$，0）到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜$\sqrt{6}$，即a²＜3b²，
又a、b均大于0，故a＜$\sqrt{3}b$，
当a=1时，b=1，2，3，4，5，6；当a=2时，b=2，3，4，5，6；当a=3时，b=3，4，5，6；
当a=4时，b=4，5，6；当a=5时，b=5，6；当a=6时，b=6．
∴事件A包含的基本事件个数m=6+5+4+3+2+1=21，
而总的方法种数为n=6×6=36
故事件A发生的概率为P（A）=$\frac{m}{n}$=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$．
（Ⅱ）依题意为几何概型，a＜$\sqrt{3}$b与（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²≤4的公共面积为：
直线a=$\sqrt{3}b$与圆（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=4相交的弓形的面积，
由点到直线的距离公式可得：
圆心（$\sqrt{3}$，1）到直线a=$\sqrt{3}b$的距离d′=0，
∴直线a=$\sqrt{3}b$与圆（a-$\sqrt{3}$）²+（b-1）²=4相交的弓形的面积为圆的面积的一半，
∴事件A发生的概率P（A）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线距离公式、列举法和几何概型的合理运用．