题目内容
【题目】已知函数 (x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ)若 ,求f(x)的值域.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=2 sinxcosx﹣2cos2x=
sin2x﹣(1+cos2x)
=2sin(2x﹣ )﹣1,
∴函数f(x)的最小正周期T=π;
由2kπ+ ≤2x﹣
≤2kπ+
得:kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+
]k∈Z.
(Ⅱ)∵x∈[0, ],
∴2x﹣ ∈[﹣
,
],
∴﹣ ≤sin(2x﹣
)≤1,
∴﹣2≤2sin(2x﹣ )﹣1≤1,即f(x)∈[﹣2,1].
∴f(x)的值域为[﹣2,1]
【解析】(Ⅰ)利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f(x)=2sin(2x﹣ )﹣1,从而可求其周期及单调递减区间;(Ⅱ)x∈[0,
]2x﹣
∈[﹣
,
],利用正弦函数的单调性与最值即可求得f(x)的值域.
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式,需要了解两角和与差的正弦公式:;二倍角的正弦公式:
才能得出正确答案.
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