题目内容
【题目】已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域R,命题q:函数y=x2a﹣5在(0,+∞)上是减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.
【答案】解:对于命题p:因其值域为R,故x2+2x+a>0不恒成立,所以△=4﹣4a≥0,∴a≤1,
对于命q:因其在(0,+∞)上是减函数,
故5﹣2a>0,则a< ,
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p真q假或p假q真.
若p真q假,则 ,则a∈,
若p假q真,则 ,则1<a<
,
综上可知,1<a< ,
故实数a的取值范围为(1, )
【解析】分别求出p,q为真时的a的范围,根据p或q为真命题,p且q为假命题得到p,q一真一假,得到关于a的不等式组,解出即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
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