题目内容
【题目】已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).
(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M,并说明理由;
(2)若 属于集合M,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)=2x+bx2 , 求证:对任意实数b,都有f(x)∈M.
【答案】
(1)解:当f(x)=3x+2时,方程f(t+2)=f(t)+f(2)3t+8=3t+10
此方程无解,所以不存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2),
故f(x)=3x+2不属于集合M
(2)解:由 属于集合M,可得
方程 有实解a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有实解(a﹣6)x2+4ax+6(a﹣2)=0有实解,
若a=6时,上述方程有实解;
若a≠6时,有△=16a2﹣24(a﹣6)(a﹣2)≥0,解得 ,
故所求a的取值范围是
(3)解:当f(x)=2x+bx2时,方程f(x+2)=f(x)+f(2)2x+2+b(x+2)2=2x+bx2+4+4b3×2x+4bx﹣4=0,
令g(x)=3×2x+4bx﹣4,则g(x)在R上的图象是连续的,
当b≥0时,g(0)=﹣1<0,g(1)=2+4b>0,故g(x)在(0,1)内至少有一个零点;当b<0时,g(0)=﹣1<0, ,故g(x)在
内至少有一个零点;故对任意的实数b,g(x)在R上都有零点,即方程f(x+2)=f(x)+f(2)总有解,所以对任意实数b,都有f(x)∈M
【解析】(1)利用f(x)=3x+2,通过f(t+2)=f(t)+f(2)推出方程无解,说明f(x)=3x+2不属于集合M.(2)由 属于集合M,推出
有实解,即(a﹣6)x2+4ax+6(a﹣2)=0有实解,若a=6时,若a≠6时,利用判断式求解即可.(3)当f(x)=2x+bx2时,方程f(x+2)=f(x)+f(2)3×2x+4bx﹣4=0,令g(x)=3×2x+4bx﹣4,则g(x)在R上的图象是连续的,当b≥0时,当b<0时,判断函数是否有零点,证明对任意实数b,都有f(x)∈M.
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