题目内容
【题目】若无穷数列{an}满足:k∈N* , 对于 ,都有an+k﹣an=d(其中d为常数),则称{an}具有性质“P(k,n0 , d)”. (Ⅰ)若{an}具有性质“P(3,2,0)”,且a2=3,a4=5,a6+a7+a8=18,求a3;
(Ⅱ)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c3=2,b3=c1=8,an=bn+cn , 判断{an}是否具有性质“P(2,1,0)”,并说明理由;
(Ⅲ)设{an}既具有性质“P(i,2,d1)”,又具有性质“P(j,2,d2)”,其中i,j∈N* , i<j,i,j互质,求证:{an}具有性质“ ”.
【答案】(Ⅰ)解:∵{an}具有性质“P(3,2,0)”,∴an+3﹣an=0,n≥2. 由a2=3,得a2=a5=a8=3.
由a4=5,得a7=5.
∵a6+a7+a8=18,∴a6=10.
即a3=10;
(Ⅱ)解:{an}不具有性质“P(2,1,0)”.
设等差数列{bn}的公差为d,由b1=2,b3=8,得2d=8﹣2=6,则d=3.
∴bn=3n﹣1.
设等比数列{cn}的公比为q,由c3=2,c1=8,得 ,又q>0,∴q=
,故
.
∴an=bn+cn=3n﹣1+24﹣n .
若{an}具有性质“P(2,1,0)”,则an+2﹣an=0,n≥1.
∵a2=9,a4=12,∴a2≠a4 ,
故{an}不具有性质“P(2,1,0)”.
(Ⅲ)证明:∵{an}具有性质“P(i,2,d1)”,∴an+i﹣an=d1 , n≥2.①
∵{an}具有性质“P(j,2,d2)”,∴an+j﹣an=d2 , n≥2.②
∵i,j∈N* , i<j,i,j互质,
∴由①得am+ji=am+jd1 , 由②得am+ij=am+id2 .
∴am+jd1=am+id2 , 即 .
②﹣①得: ,n≥2,
∴ ,
即{an}具有性质“ ”.
【解析】(Ⅰ)由{an}具有性质“P(3,2,0)”,得an+3﹣an=0,n≥2,然后结合已知依次求得a8 , a7的值,在结合a6+a7+a8=18求得a3;(Ⅱ)设等差数列{bn}的公差为d,已知求得d=3.得bn=3n﹣1.设等比数列{cn}的公比为q,由已知求得q,得 ,代入an=bn+cn . 举反例说明{an}不具有性质“P(2,1,0)”;(Ⅲ)由{an}具有性质“P(i,2,d1)”,得an+i﹣an=d1 , n≥2.由{an}具有性质“P(j,2,d2)”,得an+j﹣an=d2 , n≥2.结合i,j∈N* , i<j,i,j互质,联立上两式可得
,说明{an}具有性质“
”.
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