Question

【题目】若无穷数列{an}满足：k∈N* ， 对于 ，都有an+k﹣an=d（其中d为常数），则称{an}具有性质“P（k，n0 ， d）”． （Ⅰ）若{an}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；
（Ⅱ）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，an=bn+cn ， 判断{an}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；
（Ⅲ）设{an}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N* ， i＜j，i，j互质，求证：{an}具有性质“ ”．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵{an}具有性质“P（3，2，0）”，∴an+3﹣an=0，n≥2． 由a2=3，得a2=a5=a8=3．
由a4=5，得a7=5．
∵a6+a7+a8=18，∴a6=10．
即a3=10；
（Ⅱ）解：{an}不具有性质“P（2，1，0）”．
设等差数列{bn}的公差为d，由b1=2，b3=8，得2d=8﹣2=6，则d=3．
∴bn=3n﹣1．
设等比数列{cn}的公比为q，由c3=2，c1=8，得
，又q＞0，∴q= ，故 ．
∴an=bn+cn=3n﹣1+24﹣n ．
若{an}具有性质“P（2，1，0）”，则an+2﹣an=0，n≥1．
∵a2=9，a4=12，∴a2≠a4 ，
故{an}不具有性质“P（2，1，0）”．
（Ⅲ）证明：∵{an}具有性质“P（i，2，d1）”，∴an+i﹣an=d1 ， n≥2．①
∵{an}具有性质“P（j，2，d2）”，∴an+j﹣an=d2 ， n≥2．②
∵i，j∈N* ， i＜j，i，j互质，
∴由①得am+ji=am+jd1 ， 由②得am+ij=am+id2 ．
∴am+jd1=am+id2 ， 即 ．
②﹣①得： ，n≥2，
∴ ，
即{an}具有性质“ ”．
【解析】（Ⅰ）由{an}具有性质“P（3，2，0）”，得an+3﹣an=0，n≥2，然后结合已知依次求得a8 ， a7的值，在结合a6+a7+a8=18求得a3；（Ⅱ）设等差数列{bn}的公差为d，已知求得d=3．得bn=3n﹣1．设等比数列{cn}的公比为q，由已知求得q，得 ，代入an=bn+cn ． 举反例说明{an}不具有性质“P（2，1，0）”；（Ⅲ）由{an}具有性质“P（i，2，d1）”，得an+i﹣an=d1 ， n≥2．由{an}具有性质“P（j，2，d2）”，得an+j﹣an=d2 ， n≥2．结合i，j∈N* ， i＜j，i，j互质，联立上两式可得 ，说明{an}具有性质“ ”．