题目内容

16.过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=$\frac{{a}^{2}}{4}$的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

分析 通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点,利用中位线的性质,求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF,通过勾股定理得到a,c的关系,进而求出双曲线的离心率.

解答 解:如图,记右焦点为F′,则O为FF′的中点,
∵E为PF的中点,
∴OE为△FF′P的中位线,
∴PF′=2OE=a,
∵E为切点,
∴OE⊥PF,
∴PF′⊥PF,
∵点P在双曲线上,
∴PF-PF′=2a,
∴PF=PF′+2a=3a,
在Rt△PFF′中,有:PF2+PF′2=FF′2
∴9a2+a2=4c2,即10a2=4c2
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{10}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
故答案为:$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

点评 本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,在圆锥曲线中,求离心率关键就是求三参数a,b,c的关系,注意解题方法的积累,属于中档题.

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