题目内容

8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴是x=$\frac{π}{8}$.
(1)求φ;
(2)若x∈[0,π],求f(x)的单调递减区间.

分析 (1)由题意可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,由此求得φ 的值.
(2)由条件利用正弦函数的增区间可得f(x)的增区间,结合x∈[0,π],进一步确定f(x)的增区间.

解答 解:(1)由函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴是x=$\frac{π}{8}$.
可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$,k∈z,又-π<φ<0,∴φ=-$\frac{3π}{4}$.
(2)对于函数$f(x)=sin(2x-\frac{3π}{4})$,令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{3π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$,求得 $\frac{5π}{8}+kπ≤x≤\frac{9π}{8}+kπ,k∈Z$,
可得函数的增区间为[kπ+$\frac{5π}{8}$,kπ+$\frac{9π}{8}$],k∈z.
再根据x∈[0,π],可得增区间为[$\frac{5π}{8}$,π]、[0,$\frac{π}{8}$].

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性,正弦函数的单调性,属于基础题.

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