Question

5．如图，底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E为PC上一动点，PA=AC．
（1）求证BD⊥AE；
（2）当AE⊥平面PBD时，求$\frac{PE}{CE}$的值；
（3）在（2）的条件下，求AD与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）结合菱形的性质，根据线面垂直推出线线垂直即可；（2）建立坐标系，设$\frac{PE}{PC}=λ＞0$，根据AE⊥平面PBD，由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，求出λ的值即可；（3）根据AE是平面PBD的一个法向量，代入公式求出即可．

解答 解（1）菱形ABCD⇒AC⊥BD，PA⊥面ABCD⇒PA⊥BD，
又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又AE?面PAC，所以BD⊥AE；
（2）连接AC交BD于点O，以O为圆心，OA，OB分别为x，y轴，建立如图所示空间坐标系，
如图示：
，
设AB=2，则$A（\sqrt{3}，0，0），C（-\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），D（0，-1，0），$P（\sqrt{3}，0，2\sqrt{3}）$，
设$\frac{PE}{PC}=λ＞0$，$E（\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ，0，2\sqrt{3}-2\sqrt{3}λ）$，
AE⊥平面PBD，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}=0$，则$λ=\frac{2}{3}$，$\frac{PE}{CE}=2$；
（3）因为AE⊥平面PBD，
所以AE是平面PBD的一个法向量，取$A\overrightarrow E=（-2，0，1）$
设AD与平面PBD所成角为θ，
则$sinθ=\frac{{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow{AD|}•\overrightarrow{|AE|}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质即判定，考查线面角问题，是一道中档题．