Question

16．过点（2$\sqrt{2}$，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1仅有一个交点，则实数k的值为0或±$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据直线的方程可知直线恒过（2$\sqrt{2}$，0）点，进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程，求得k的值．

解答 解：依题意可知直线l恒过（2$\sqrt{2}$，0）点，
即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，
即垂直于x轴，即有k=0；
当直线与渐近线平行，
即有$\frac{1}{k}$=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即k=±$\sqrt{2}$，
此时直线与双曲线仅有一个交点．
故答案为：0或±$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．