已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$.直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为$\sqrt{10}$.抛物线D以原点为顶点.椭圆的右焦点为焦点．(Ⅰ)求椭圆C与抛物线D的方程,(Ⅱ)已知A.B是椭圆C上两个不同点.且OA⊥OB.判定原点O到直线AB的距离是否为定值.若为定值求出定值.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为$\sqrt{10}$，抛物线D以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆C与抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上两个不同点，且OA⊥OB，判定原点O到直线AB的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．

分析（Ⅰ）利用离心率a=2c，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，求解解得a，c，求出p，
即可得到椭圆C的方程，抛物线D方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线AB与x轴垂直时，设AB：x=m，则$y=±\frac{{\sqrt{12-3{m^2}}}}{2}$，利用OA⊥OB，求出m，推出原点到直线AB的距离．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m代入3x²+4y²-12=0，利用韦达定理以及判别式大于0，利用向量数量积为0，求解即可．

解答解：（Ⅰ）由题知$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
∴$\sqrt{10}$=$2\sqrt{{b^2}-\frac{1}{2}}$，解得b=$\sqrt{3}$，∴a²=$3+\frac{a^2}{4}$，解得a²=4，∴c=1，∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，抛物线D方程为y²=4x； 5分
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线AB与x轴垂直时，设AB：x=m，则$y=±\frac{{\sqrt{12-3{m^2}}}}{2}$，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=${m^2}-\frac{{12-3{m^2}}}{4}$=0，解得m=$±\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
∴原点到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$． 7分．
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m代入3x²+4y²-12=0整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
则△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²-m²+3＞0，x₁+x₂=$-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$+$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$=0，即7m²=12（k²+1），
且满足△＞0，10分
∴原点到直线AB的距离为$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，11分
故原点O到直线AB的距离为定值，定值为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$． 12分．