Question

11．已知x∈（0，1），则f（x）=$\frac{{x}^{2}-{x}^{4}}{（1+{x}^{2}）^{3}}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{18}$；不等式$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$＞0的解集为（0，1）．

Answer 1

分析 可将f（x）变成：$f（x）=\frac{\frac{1}{x}-x}{[（\frac{1}{x}-x）^{2}+4]^{\frac{3}{2}}}$，可令$\frac{1}{x}-x=t$，并可求得t∈（0，+∞），并设y=f（x），从而得到y=$\frac{t}{（{t}^{2}+4）^{\frac{3}{2}}}$，通过求导，根据导数符号即可得出t取何值时，函数y取到最大值，求出该最大值即可．
原不等式可变成$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}-\frac{2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}+1＞0$，可令$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}=t$，并可根据x的范围求出t的范围，并且得到不等式-2t²+t+1＞0，解出该不等式，再把所得t的范围和前面t的范围求交集，这样便可得出原不等式的解集．

解答 解：$f（x）=\frac{{x}^{2}-{x}^{4}}{（1+{x}^{2}）^{3}}=\frac{\frac{1}{x}-x}{（\frac{1}{x}+x）^{3}}$=$\frac{\frac{1}{x}-x}{[（\frac{1}{x}+x）^{2}]^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{\frac{1}{x}-x}{[（\frac{1}{x}-x）^{2}+4]^{\frac{3}{2}}}$；
设$\frac{1}{x}-x=t$，$t′=-\frac{1}{{x}^{2}}-1＜0$，∴函数t=$\frac{1}{x}-x$在（0，1）上为减函数；
∴t＞0；
设y=f（x），则y=$\frac{t}{（{t}^{2}+4）^{\frac{3}{2}}}$$y′=\frac{2（{t}^{2}+4）^{\frac{1}{2}}（2-{t}^{2}）}{（{t}^{2}+4）^{3}}$；
∴$t∈（0，\sqrt{2}）$时，y′＞0，t$∈（\sqrt{2}，+∞）$时，y′＜0；
∴$t=\sqrt{2}$时，y取最大值$\frac{\sqrt{2}}{{6}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{18}$；
∴f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{18}$；
由原不等式得：$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}+1-2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}＞0$；
∴$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}-\frac{2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}+1＞0$；
令$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}=t$，$0＜t＜\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴得到-2t²+t+1＞0；
解得$-\frac{1}{2}＜t＜1$，又$0＜t＜\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$0＜t＜\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴x∈（0，1）；
∴原不等式的解集为（0，1）．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{18}，（0，1）$．

点评 考查将函数解析式变形，然后换元，从而求原函数最值的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据导数求函数最值的方法及过程，将不等式变形，然后换元，然后解换元后不等式，从而解出原不等式的方法．