Question

13．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{3x+2}{x-2}$；
（2）y=$\frac{3{x}^{2}+3x+1}{{x}^{2}+x-1}$；
（3）y=x+$\sqrt{2x-1}$．

Answer 1

分析 （1）原函数可变成y=$3+\frac{8}{x-2}$，这样即可看出$\frac{8}{x-2}≠0$，从而得出y≠3，这便得出了原函数的值域；
（2）原函数可以变成$y=3+\frac{4}{{x}^{2}+x-1}$，进行配方可以得到x²+x-1的范围，从而得出$\frac{1}{{x}^{2}+x-1}$的范围，进一步得出y的范围，即原函数的值域；
（3）原函数可变成y=$\frac{1}{2}（\sqrt{2x-1}+1）^{2}$，根据$\sqrt{2x-1}+1≥1$，便可得出$（\sqrt{2x-1}+1）^{2}$的范围，从而得出该函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{3（x-2）+8}{x-2}=3+\frac{8}{x-2}$；
∵$\frac{8}{x-2}≠0$；
∴y≠3；
∴该函数的值域为{y|y≠3}；
（2）$y=\frac{3（{x}^{2}+x-1）+4}{{x}^{2}+x-1}=3+\frac{4}{{x}^{2}+x-1}$；
${x}^{2}+x-1=（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}≥-\frac{5}{4}$；
∴$-\frac{5}{4}≤{x}^{2}+x-1＜0$，或x²+x-1＞0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}+x-1}≤-\frac{4}{5}$，或$\frac{1}{{x}^{2}+x-1}＞0$；
∴$y≤-\frac{1}{5}，或y＞3$；
∴该原函数的值域为$（-∞，-\frac{1}{5}]∪（3，+∞）$；
（3）$y=x+\sqrt{2x-1}=\frac{1}{2}（2x-1）+\sqrt{2x-1}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{2x-1}）^{2}+\sqrt{2x-1}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{2x-1}+1）^{2}$；
$\sqrt{2x-1}≥0$，$\sqrt{2x-1}+1≥1$；
∴$\frac{1}{2}（\sqrt{2x-1}+1）≥\frac{1}{2}$；
∴该函数的值域为$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 考查函数值域的概念，分离常数求函数值域的方法，根据不等式的性质求函数的值域，以及配方法求二次函数的值域．