Question

3．求函数y=arcsin（sinx）的定义域、值域、判断它的奇偶性、单调性、周期性．

Answer 1

分析 由条件利用反正弦函数的定义和性质，求得函数y=arcsin（sinx）的定义域、值域、判断它的奇偶性、单调性、周期性．

解答 解：对于函数y=arcsin（sinx），根据-1≤sinx≤1，求得x∈R，故函数的定义域为R．
根据反正弦函数的定义可得y∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
再根据y=f（x）=arcsin（sinx）满足f（-x）=arcsin[sin（-x）]=arcsin[-sinx]=-arcsin（sinx）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
在R上，当x增大时，函数t=sinx没有单调性，故函数y=arcsin（sinx）没有单调性．
再根据y=f（x）=arcsin（sinx）满足f（x+2π）=arcsin[sin（x+2π）]=arcsin（sinx）=f（x），
可得函数y的一个周期为2π．
由于不存在T∈（0，2π），使f（x+T）=f（x）对于定义域内的任意x都成立，故函数y的周期为2π．

点评 本题主要考查反正弦函数的定义和性质，属于中档题．