Question

15．函数f（x）=x+$\sqrt{1-2x}$的值域是（-∞，1]．

Answer 1

分析 令$\sqrt{1-2x}$=t（t≥0）换元，然后利用配方法求二次函数的最值得答案．

解答 解：令$\sqrt{1-2x}$=t（t≥0），
则1-2x=t²，x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴函数化为$y=-\frac{{t}^{2}}{2}+t+\frac{1}{2}$（t≥0），
由$-\frac{{t}^{2}}{2}+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，
当t≥0时，$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1≤1$，
∴函数f（x）=x+$\sqrt{1-2x}$的值域是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查函数的值域及其求法，考查了换元法，训练了配方法求函数的最值，是基础题．