Question

11．已知a，b，x₁，x₂为正实数，且满足a+b=1
（1）求a²+$\frac{b^2}{4}$的最小值．
（2）求证：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥x₁x₂．

Answer 1

分析 （1）由柯西不等式可得（a²+$\frac{b^2}{4}$）（1+4）≥（a+b）²，即${a^2}+\frac{b^2}{4}$≥$\frac{1}{5}$，从而可得${a^2}+\frac{b^2}{4}$的最小值；
（2）由柯西不等式可得$（a{x_1}+b{x_2}）（b{x_1}+a{x_2}）≥{（\sqrt{a{x_1}}\sqrt{a{x_2}}+\sqrt{b{x_1}}\sqrt{b{x_2}}）^2}$，即可证明结论．

解答 （1）解：由柯西不等式可得（a²+$\frac{b^2}{4}$）（1+4）≥（a+b）²，∴${a^2}+\frac{b^2}{4}$≥$\frac{1}{5}$，
当$a=\frac{1}{5}，b=\frac{4}{5}$时，${a^2}+\frac{b^2}{4}$的最小值为$\frac{1}{5}$；
（2）证明：由柯西不等式可得$（a{x_1}+b{x_2}）（b{x_1}+a{x_2}）≥{（\sqrt{a{x_1}}\sqrt{a{x_2}}+\sqrt{b{x_1}}\sqrt{b{x_2}}）^2}$
=${（a\sqrt{{x_1}{x_2}}+b\sqrt{{x_1}{x_2}}）^2}={（a+b）^2}{x_1}{x_2}={x_1}{x_2}$．

点评 本题考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．