题目内容

4.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)等于(  )
A.$\frac{1}{3}$B.-$\frac{1}{3}$C.$\frac{5}{3}$D.-$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

分析 先求出f′(x),根据开口方向,对称轴,判断哪一个图象是导函数y=f′(x)的图象,再根据图象求出a的值,最后求出f(-1).

解答 解:函数的f(x)的导数f′(x)=x2+2ax+(a2-1)=(x+a)2-1,
则f′(x)的图象开口向上,排除(2)(4),
若是(1)则,对称轴关于y轴对称,则2a=0,即a=0,
f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x+1,
∴f(-1)=-$\frac{1}{3}$+1+1=$\frac{5}{3}$,
若对应的图象应为(3),
则函数过原点,a2-1=0,解得a=1,或a=-1且对称轴x=-a>0,即a<0,
∴a=-1
∴f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x2+1,
∴f(-1)=-$\frac{1}{3}$-1+1=-$\frac{1}{3}$,
故选:D.

点评 本题主要考查函数图象的确定,以及导数的基本运算,属于基础题.

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