Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

1

2

，直线x=2被椭圆E截得的弦长为6，设F的椭圆E的右焦点，A为椭圆E的左顶点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求过点A、F，并且与椭圆的E右准线l相切的圆的方程；
（3）若M为椭圆E的右准线l上一点，连结AM交椭圆于点P，求

PM

AP

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2.

，由此能求出椭圆方程．
（2）由已知得F（2，0），A（-4，0），右准线l为直线x=8，设圆心C（m，n），则

(m-2)2+n2 = (m+4)2+n2 (m-2)2+n2 =|8-m|

，由此能求出圆的方程．
（3）设P点横坐标为x₀，则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由此能求出

PM

AP

的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2.

，
解得a=4，b=2

3

，c=2，
∴所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…5分
（2）∵椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
∴F（2，0），A（-4，0），右准线l为直线x=8，
设圆心C（m，n），则

(m-2)2+n2 = (m+4)2+n2 (m-2)2+n2 =|8-m|

，
解得m=-1，n=±6

2

，
∴圆半径r=|8-（-1）|=9，
故所要求的圆的方程为(x+1)2+(y±6

2

)2=81．…10分
（3）设P点横坐标为x₀，
则

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，…14分
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范围是[

1

2

，+∞）．…16分．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查圆的方程的求法，考查

PM

AP

的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．