Question

16．平面直角坐标系中，将曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa+2}\\{y=sina}\end{array}\right.$（a为参数）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C₁，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=4sinθ．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求C₁和C₂公共弦的垂直平分线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）消去参数以及利用极坐标方程和普通坐标之间的关系进行化简即可求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）C₁和C₂公共弦的垂直平分线实质是两圆圆心对应的直线，然后转化为极坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+2}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）
∴消去参数α得C₁：（x-2）²+y²=4，
由ρ=4sinθ．
得ρ²=4ρsinθ．
即x²+y²=4y，即x²+y²-4y=0，
即C₂：x²+y²-4y=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C₁：（x-2）²+y²=4的圆心为C₁：（2，0），
C₂：x²+y²-4y=0，即：x²+（y-2）²=4，圆心为C₂：（0，2），
则C₁和C₂公共弦的垂直平分线即为直线的C₁C₂：$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$，
即x+y=2，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρcosθ+ρsinθ=2，
即ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
即极坐标方程是ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，要求熟练掌握相应的转化公式．