题目内容
已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为
,离心率是
。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于
轴上方的动点，直线AS,BS与直线
分别交于M,N两点。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 求线段MN长度的最小值；
（3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于
.
试确定点T的个数。
,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。（1） 求椭圆C的方程；
（2） 求线段MN长度的最小值；
（3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于
.试确定点T的个数。
解（1）因为
，且
，所以
所以椭圆C的方程为
…………………………………………….3分
(2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为
,直线AS的斜率
显然存在，且
故可设直线AS的方程为
，从而
由
得
设
，则
，得
从而
，即
又
,故直线BS的方程为
由
得
，所以
故
又，所以
当且仅当
时，即
时等号成立
所以时，线段MN的长度取最小值
………………………………..9分
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，
此时AS的方程为
，
,
因为点T到直线AS的距离等于，
所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线
上
设
，则由
，解得
① 当
时，由
得
由于
，故直线与椭圆C有两个不同交点
②
时，由
得
由于
，故直线与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2. ……………………………………………..14分
，且，所以所以椭圆C的方程为
…………………………………………….3分(2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为
,直线AS的斜率显然存在，且故可设直线AS的方程为
，从而由
得设
，则，得从而
，即又
,故直线BS的方程为由
得，所以故
又
，所以当且仅当
时，即时等号成立所以
时，线段MN的长度取最小值 ………………………………..9分（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，
此时AS的方程为
，,因为点T到直线AS的距离等于
，所以点T在平行于AS且与AS距离等于
的直线上设
，则由，解得① 当
时，由得由于
，故直线与椭圆C有两个不同交点②
时，由得由于
，故直线与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2. ……………………………………………..14分
略
练习册系列答案
相关题目
中，
，
. 若以
、
为焦点的双曲线经过点
，
、
是椭圆
的焦点，在C上满足
的点P的个数
中，
，
，
，则
（ ）
的离心率等于（ ）．
＝
＋
＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是 ．
的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在一点
(非顶点)使
，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率
为 
表示椭圆，则
的实数取值范围为