题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,若存在
,使得不等式
成立,求m的取值范围.
【答案】(1)当时,函数在
上单调递增;当
时,函数在
上单调递增,在
上单调递减;(2)
【解析】
(1)求得函数的导函数为,再
和
两种情况讨论可得;
(2)若存在,使得不等式
成立,即存在
,使得不等式
成立,令
,
,则
,求出函数的导数,说明其单调性及最小值,即可求出参数的取值范围;
解:(1)函数的定义域为
,
且
当,即
时,
恒成立,故函数在
上单调递增;
当,即
时,令
,解得
,故函数在
上单调递增;
令,解得
,故函数在
上单调递减;
综上所述,当时,函数在
上单调递增;当
时,函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)若存在,使得不等式
成立,即存在
,使得不等式
成立,
令,
,则
,
当时,
,
在
上恒成立,故函数
在
上单调递增,
,解得
,所以
;
当时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,则
令,
,
恒成立,即函数
,在
上单调递减,又
故
在
上恒成立,即
,故
当时,
,
在
上恒成立,故函数
在
上单调递减,
,不符题意,舍去;
综上可得
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