题目内容
【题目】过点作直线与两坐标轴分别交于点、.当的面积在上变化时,直线条数的集合为______.
【答案】
【解析】
显然,直线有非零斜率,记为,又设直线的方程为.
问题转化为求的可能取值个数,分别取,,
得,,
则的面积为
.
讨论绝对值的符号得关于的两个方程
①
②
(1)当时,由知,可求出,.
满足条件的直线有2条.
(2)当时,式①、②均为的二次方程,其判别式为:
,
,
有.
故式①、②中至少存在一个方程有两个不相等的实根.分两种情况讨论.
1)当且时,直接由式①、②解出(注意),.
满足条件的直线有2条.
2)当且时,有三种情况.
(i)时,有或
满足条件的直线有2条.
(ii)时,有或
满足条件的直线有3条.
(iii)时,有且,满足条件的直线有4条.
综上知,满足条件的直线条数的取值集合为.