题目内容

【题目】过点作直线与两坐标轴分别交于点.当的面积上变化时,直线条数的集合为______.

【答案】

【解析】

显然,直线有非零斜率,记为,又设直线的方程为.

问题转化为求的可能取值个数,分别取

的面积为

.

讨论绝对值的符号得关于的两个方程

(1)当时,由,可求出.

满足条件的直线有2条.

(2)当时,式①、②均为的二次方程,其判别式为:

.

故式①、②中至少存在一个方程有两个不相等的实根.分两种情况讨论.

1)当时,直接由式①、②解出(注意.

满足条件的直线有2条.

2)当时,有三种情况.

(i)时,有

满足条件的直线有2条.

(ii)时,有

满足条件的直线有3条.

(iii)时,有满足条件的直线有4条.

综上知,满足条件的直线条数的取值集合为.

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