题目内容
【题目】一些选手参加数学竞赛,其中有些选手互相认识,有些选手互相不认识,而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人.若与认识,但没有共同的熟人,求证:、认识的熟人一样多.
【答案】见解析
【解析】
用点表示人,两人互相认识就在相应两点间连一条线段,依题意间有连线(如图).
由于、没有共同的熟人,故凡认识的人就不认识,凡认识的人就不认识.
现设,,…,与认识,,,…,与认识,由于任一与不认识,而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人,故与有且仅有一个共同的熟人.
反之,每一个与有且仅有一个共同的熟人.
亦即每一必与某一有连线,每一也必与某一有连线.
现设与认识,与认识,下面证明与不相同时,与也不相同.
若不然,与重合,则、与均有连线,从而互不认识的,共同认识3个人,,(如图),与已知条件“恰有两个共同的熟人”矛盾,可见,.
同理,,不相同时,其对应的,也不相同,又得.
从而.这表明、认识的熟人一样多.
【题目】如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出表中数据的散点图;
(2)请根据表中提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤?
(附:,)
【题目】为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取名和名学生进行测试.下表是高二年级的名学生的测试数据(单位:个/分钟):
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
跳绳个数 | 179 | 181 | 168 | 177 | 183 |
踢毽个数 | 85 | 78 | 79 | 72 | 80 |
(1)求高一、高二两个年级各有多少人?
(2)设某学生跳绳个/分钟,踢毽个/分钟.当,且时,称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;
②从高二年级抽出的上述名学生中,随机抽取人,求抽取的名学生中为“span>运动达人”的人数的分布列和数学期望.