题目内容

【题目】一些选手参加数学竞赛,其中有些选手互相认识,有些选手互相不认识,而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人.若认识,但没有共同的熟人,求证:认识的熟人一样多.

【答案】见解析

【解析】

用点表示人,两人互相认识就在相应两点间连一条线段,依题意间有连线(如图).

由于没有共同的熟人,故凡认识的人就不认识,凡认识的人就不认识

现设,…,认识,,…,认识,由于任一不认识,而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人,故有且仅有一个共同的熟人

反之,每一个有且仅有一个共同的熟人

亦即每一必与某一有连线,每一也必与某一有连线.

现设认识,认识,下面证明不相同时,也不相同.

若不然,重合,则均有连线,从而互不认识的共同认识3个人(如图),与已知条件恰有两个共同的熟人矛盾,可见,

同理,不相同时,其对应的也不相同,又得

从而.这表明认识的熟人一样多.

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