[题目]某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学.对其社会实践次数进行调查.结果如下:男同学人数715111221女同学人数51320932若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵．(Ⅰ)将频率视为概率.估计该校1600名学生中“社会实践标兵有多少人?(Ⅱ)从已抽取的8名“社会实践标兵中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．(i)设为事� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下：


男同学人数	7	15	11	12	2	1
女同学人数	5	13	20	9	3	2

若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．

（Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？

（Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．

（i）设为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件发生的概率；

（ii）用表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）见解析

【解析】

（Ⅰ）计算出样本中“社会实践标兵”的频率，从而估计出总体中的人数；（Ⅱ）（i）计算出，利用对立事件概率公式求得结果；（ii）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布求解出每个取值对应的概率，从而得到分布列；再根据数学期望计算公式求得结果.

（Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于次的学生有人

该校学生中“社会实践标兵”有：人

（Ⅱ）名“社会实践标兵”中有男同学人，女同学人

（i）为“抽取的位同学全是女同学”

（ii）由题意知：所有可能的取值为：

；；

；

则的分布列如下：

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（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

【题目】立德中学和树人中学各派一名学生组成一个联队参加一项智力竞赛，这个智力竞赛一共两轮，在每一轮中，两名同学各回答一次题目，已知，立德中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是，树人中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是；每轮中，两位同学答对与否互不影响，各论结果亦互不影响，求：

（Ⅰ）两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多个的概率；

（Ⅱ）两轮比赛后，记为这两名同学一共答对的题目数，求随机变量的分布列和数学期望．

【题目】如图，四边形与均为菱形，，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围.

【题目】某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为，．

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；

（Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【题目】如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【题目】已知为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线（其中是自然数），设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是______________．