题目内容
【题目】如图,四边形与
均为菱形,
,且
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若为线段
上的一点,且满足直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
【答案】(1)见解析;(2)二面角的余弦值为
;(3)
.
【解析】分析:(1)由菱形的性质可得,由等腰三角形的性质可得
,根据线面垂直的判定定理可得
平面
;(2)先证明
为等边三角形,可得
,于是可以
为坐标轴建立坐标系,利用向量垂直数量积为零,列方程组求出平面
的法向量与平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果;(3)设
由直线
与平面
所成角的正弦值为
,利用空间向量夹角余弦公式列方程求得
,从而可得结果.
详解:(1)设与
相交于点
,连接
,
∵四边形为菱形,∴
,
且为
中点,
∵,∴
,
又,
∴平面
.
(2)连接,∵四边形
为菱形,且
,
∴为等边三角形,
∵为
中点,∴
,又
,
∴
平面
.∵
两两垂直,∴建立空间直角坐标系
,如图所示,
设,∵四边形
为菱形,
,∴
.
∵为等边三角形,∴
.
∴,
∴,
设平面的法向量为
,则
令,得
设平面的法向量为
,则
,
令,得
所以
又因为二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为
(3)设
所以
化简得
解得:
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,共享单车在我国各城市迅猛发展,为人们的出行提供了便利,但也给城市的交通管理带来了一些困难,为掌握共享单车在省的发展情况,某调查机构从该省抽取了5个城市,并统计了共享单车的
指标
和
指标
,数据如下表所示:
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
(1)试求与
间的相关系数
,并说明
与
是否具有较强的线性相关关系(若
,则认为
与
具有较强的线性相关关系,否则认为没有较强的线性相关关系).
(2)建立关于
的回归方程,并预测当
指标为7时,
指标的估计值.
(3)若某城市的共享单车指标
在区间
的右侧,则认为该城市共享单车数量过多,对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理,直至
指标
在区间
内现已知
省某城市共享单车的
指标为13,则该城市的交通管理部门是否需要进行治理?试说明理由.
参考公式:回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为
,,
相关系数
参考数据:,
,
.
【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响,某校随机抽取100名学生,对学习成绩和使用手机情况进行了调查,统计数据如表所示(不完整):
使用手机 | 不使用手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | |
学习成绩一般 | 30 | ||
总计 | 100 |
(1)补充完整所给表格,并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关;
(2)现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人,再从这6人中随机抽取3人,求其中学习成绩优秀的学生恰有2人的概率.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |