题目内容
【题目】如图所示的几何体中,垂直于梯形
所在的平面,
为
的中点,
,四边形
为矩形,线段
交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点
,使得
与平面
所成角的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)在线段
上存在一点
满足题意,且
【解析】
(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论;
(2)建立空间直角坐标系,利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值,然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值;
(3)假设点Q存在,利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置.
(1)因为四边形为矩形,所以
为
的中点.连接
,
在中,
分别为
的中点,所以
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)易知两两垂直,如图以
为原点,分别以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系.
则,所以
.
设平面的法向量为
,
则即
解得
令,得
所以平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
,据此可得
,
则平面的一个法向量为
,
,于是
.
故二面角的正弦值为
.
(3)设存在点满足条件.
由,
设,整理得
,
则.
因为直线与平面
所成角的大小为
,
所以
解得,
由知
,即点
与
重合.
故在线段上存在一点
,且
.
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