Question

19．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；
（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．

解答 解：（Ⅰ）由$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可得ρ=4cosθ-4sinθ，∴ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，∴x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8；
（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$
代入（x-2）²+（y+2）²=8得t²+2$\sqrt{2}$t-4=0，
A，B对应的参数为t₁、t₂，则t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4，
由t的意义可得$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．