Question

14．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足ln（x²+2x-8）＜ln（3x-2）．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解答 解：由x²-4ax+3a²＜0得（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
由ln（x²+2x-8）＜ln（3x-2）．
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-8＞0}\\{{x}^{2}+2x-8＜3x-2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2或x＜-4}\\{{x}^{2}-x-6＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2或x＜-4}\\{-2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
即q：2＜x＜3．
（1）若a=1，则p：1＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即$\left\{\begin{array}{l}2＜x＜3\\ 1＜x＜3\end{array}\right.$，
解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若p是q的必要不充分条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a≥3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2．

点评 本题主要考查复合命题以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．