题目内容
7.已知数列{an}满足a1=$\frac{4}{3}$,an+1=$\frac{8}{6-{a}_{n}}$(n∈N*).(1)设bn=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$,求证{bn}为等比数列,求此通项bn;
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,求满足$\frac{65}{64}$<$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$<$\frac{9}{8}$的所有n的值.
分析 (1)把条件代入bn=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$求出b1,化简bn+1÷bn,由等比数列的定义证明{bn}为等比数列,由等比数列的通项公式求出bn;
(2)由等比数列的前n项和公式求出Sn,代入$\frac{65}{64}$<$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$<$\frac{9}{8}$化简求出n的范围和所有n的值.
解答 证明:(1)∵a1=$\frac{4}{3}$,an+1=$\frac{8}{6-{a}_{n}}$(n∈N*),∴b1=$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}-4}$=$\frac{1}{4}$,
且bn+1÷bn=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}-4}$÷$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$=$\frac{\frac{8}{6-{a}_{n}}-2}{\frac{8}{6-{a}_{n}}-4}$÷$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$=$\frac{{-2+a}_{n}}{{-8+2a}_{n}}÷\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$
=$\frac{{-2+a}_{n}}{{2(-4+a}_{n})}×\frac{{a}_{n}-4}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$,
∴数列{bn}是以$\frac{1}{4}$为首项、以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列,
则bn=$\frac{1}{4}$•$(\frac{1}{2})^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$;
解:(2)由(1)得,Sn=$\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n}})$,∴$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{2n}})}{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}$=$1+\frac{1}{{2}^{n}}$,
代入$\frac{65}{64}$<$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$<$\frac{9}{8}$得,$\frac{65}{64}$<$1+\frac{1}{{2}^{n}}$<$\frac{9}{8}$,则8<2n<64
解得,3<n<6,
∴满足条件n的值是4、5.
点评 本题考查等比数列的定义、通项公式和前n项和公式,考查化简、变形能力,属于中档题.
A. | {x|x>2} | B. | {x|x<2} | C. | {x|x<-2或x>2} | D. | {x|x<-2或0<x<2} |
A. | ($\root{6}{a}$)6-($\root{6}{b}$)6=a-b | B. | $\root{8}{({a}^{2}+{b}^{2})^{8}}$=a2+b2 | ||
C. | $\root{4}{{a}^{4}}$-$\root{4}{{b}^{4}}$=a-b | D. | $\root{10}{(a+b)^{10}}$=a+b |