Question

【题目】设函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；

（3）令， ，证明： .

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求导数，令导数大于零，求其单增区间即可；（2）根据导数分析函数的极小值，由题意极小值小于零即可求出；（3）构造函数，求其最小值，则当时， 即，代换得，累加即可得证.

试题解析：

（1）当时， 得，解得，

∴函数的单调递增区间为，单调减区间为.

（2），依题意可知，此时得，

在上单调递减，在上单调递增，又或时，

，

∴的图象与轴交于两点，

当且仅当即

得.

∴的取值范围为.

（3）令，

∵，∵，得

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，得.

当时， 即.

令， 得，则叠加得：

，

即.