Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣ （k+1）x2+3kx+1，其中k∈R．
（1）当k=3时，求函数f（x）在[0，5]上的值域；
（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：k=3时，f（x）=x3﹣6x2+9x+1，

则f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），

令f′（x）=0得x1=1，x2=3，列表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	3
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	1	单调递增	5	单调递减	1	单调递增	21

由上表知函数f（x）的值域为[1，21]

（2）解：方法一：f′（x）=3x2﹣3（k+1）x+3k=3（x﹣1）（x﹣k）

①当k≤1时，x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增

所以

即 （舍）

②当k≥2时，x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减

所以f（x）min=f（2）=8﹣6（k+1）+3k2+1=3

符合题意

③当1＜k＜2时，

当x∈[1，k）时，f'（x）＜0f（x）区间在[1，k）单调递减

当x∈（k，2]时，f'（x）＞0f（x）区间在（k，2]单调递增

所以

化简得：k3﹣3k2+4=0

即（k+1）（k﹣2）2=0

所以k=﹣1或k=2（舍）

注：也可令g（k）=k3﹣3k2+4

则g′（k）=3k2﹣6k=3k（k﹣2）

对k∈（1，2），g′（k）≤0，

g（k）=k3﹣3k2+4在k∈（1，2）单调递减

所以0＜g（k）＜2不符合题意

综上所述：实数k取值范围为k≥2

方法二：f′（x）=3x2﹣3（k+1）x+3k=3（x﹣1）（x﹣k）

①当k≥2时，x∈[1，2]，f'（x）≤0，

函数f（x）在区间[1，2]单调递减

所以f（x）min=f（2）=8﹣6（k+1）+3k2+1=3

符合题意

②当k≤1时，x∈[1，2]，f'（x）≥0，

函数f（x）在区间[1，2]单调递增

所以f（x）min＜f（2）=3不符合题意

③当1＜k＜2时，

当x∈[1，k）时，f'（x）＜0f（x）区间在[1，k）单调递减，

当x∈（k，2]时，f'（x）＞0f（x）区间在（k，2]单调递增，

所以f（x）min=f（k）＜f（2）=3不符合题意，

综上所述：实数k取值范围为k≥2

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；（2）法一（二）：通过讨论k的范围，求出函数的最小值，结合函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求出k的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．