题目内容
【题目】若不等式[2tx2﹣(t2﹣1)x+2]lnx≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数t的值是 .
【答案】-1
【解析】解:不等式[2tx2﹣(t2﹣1)x+2]lnx≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
当lnx≥0,即x≥1时,2tx2﹣(t2﹣1)x+2≤0恒成立.
当t≥0时,2tx2﹣(t2﹣1)x+2≤0不恒成立,
则t<0,且2t﹣(t2﹣1)+2≤0,解得t≤﹣1或t≥3(舍去),
当t≤﹣1时,对称轴x= <0<1,y=2tx2﹣(t2﹣1)x+2在x≥1递减,
2tx2﹣(t2﹣1)x+2≤0恒成立;
当lnx<0,即0<x<1时,2tx2﹣(t2﹣1)x+2≥0恒成立.
由题意可得t≤﹣1,
且对称轴x= <0,y=2tx2﹣(t2﹣1)x+2在0<x<1递减,
则2t0﹣(t2﹣1)0+2≥0,且2t﹣(t2﹣1)+2≥0,解得﹣1≤t≤3,
综上可得﹣1≤t≤﹣1,即为t=﹣1.
所以答案是:﹣1.
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