题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2﹣ax,其中a∈R.
(1)当a=0时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在定义域上有且仅有一个极值点,求实数a的取值范围;
(3)若对任意x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=0,f(x)=lnx则f(1)=0
又 ,则切线的斜率k=1,
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x﹣1
(2)解:f(x)=lnx+ax2﹣ax,x>0,则 ,
令t(x)=2ax2﹣ax+1,
①若a=0,则t(x)=2ax2﹣ax+1=1>0,
故f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)上无极值点,
故a=0不符题意,舍去;
②若a<0, ,
该二次函数开口向下,对称轴 ,
,
所以t(x)=0在(0,+∞)上有且仅有一根 ,故f'(x0)=0,
且当0<x<x0时,t(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x0)上单调递增;
当x>x0时,t(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)在(x0,+∞)上单调递减;
所以a<0时,函数f(x)在定义域上有且仅有一个极值点 ,符合题意;
③若a>0, ,该二次函数开口向上,对称轴
.
(ⅰ)若 ,即0<a≤8,
,
故f'(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)上无极值点,
故0<a≤8不符题意,舍去;
(ⅱ)若 ,即a>8,又t(0)=1>0,
所以方程t(x)=0在(0,+∞)上有两根 ,
,
故f'(x1)=f'(x2)=0,
且当0<x<x1时,t(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增;
当x1<x<x2时,t(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)在(x1,x2)上单调递减;
当x>x2时,t(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)在(x2,+∞)上单调递增;
所以函数f(x)在(0,+∞)上有两个不同的极值点,故a>8不符题意,舍去,
综上所述,实数a的取值范围是a<0
(3)解:由(2)可知,
①当0≤a≤8时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以当x∈[1,+∞)时,f(x)≥f(1)=0,符合题意,
②当a<0时,t(1)=a+1,
(ⅰ)若t(1)=a+1≤0,即a≤﹣1,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,
故f(x)≤f(1)=0,不符题意,舍去,
(ⅱ)若t(1)=a+1>0,即﹣1<a<0,
故函数f(x)在(1,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,
当 时,
(事实上,令φ(x)=lnx﹣x+1,x≥1,则 ,
函数φ(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以φ(x)≤φ(1)=0,即lnx≤x﹣1对任意x∈[1,+∞)恒成立.)
所以存在 ,使得f(x)<0,故﹣1<a<0不符题意,舍去;
③当a>8时,t(1)=a+1>0,函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以当x∈[1,+∞)时,f(x)≥f(1)=0,符合题意,
综上所述,实数a的取值范围是a≥0
【解析】(1)求出函数的导数,求出函数的切线的斜率,从而求出切线方程即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调性结合函数的极值点的个数,求出a的范围即可;(3)通过讨论a的范围,得到函数的单调性,求出函数的最值,从而判断a的范围即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题.
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