Question

【题目】已知函数f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2 ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意a∈[4，10]，x1 ， x2∈[1，2]，恒有| |≤ 成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣（a+2）+2x= ，

a≤0时，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

0＜a＜2时，函数在（0， ），（1，+∞）递增，在（ ，1）递减，

a=2时，函数在（0，+∞）递增，

a＞2时，函数在（0，1），（ ，+∞）递增，在（1， ）递减

（2）解：| |≤ 成立，

即|f（x1）﹣f（x2）|≤λ| ﹣ |恒成立，

不妨设x2＞x1，∵a∈[4，10]时，f（x）在[1，2]递减，

则f（x1）﹣f（x2）≤λ（ ﹣ ），得f（x1）﹣ ≤f（x2）﹣ ，

设g（x）=f（x）﹣ =alnx﹣（a+2）x+x2﹣ ，

故对于任意的a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，x2＞x1，g（x1）≤g（x2）恒成立，

故g（x）=f（x）﹣ 在[1，2]递增，

g′（x）= ≥0在x∈[1，2]恒成立，

故2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

即a（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

∵x∈[1，2]时，﹣x2+x≤0，

∴只需10（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

即2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

设h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，则h（2）=﹣12+λ≥0，

故λ≥12，

故实数λ的范围是[12，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，根据x的范围得2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，设h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，根据函数的性质求出λ的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．