题目内容

(本题满分15分) 如图,椭圆C: x2+3y2=3b(b>0).
(Ⅰ) 求椭圆C的离心率;
(Ⅱ) 若b=1,AB是椭圆C上两点,且| AB | =,求△AOB面积的最大值.
(Ⅰ)解:由x2+3y2=3b
所以e.                     
(Ⅱ)解:设A(x1y1),B(x2y2),△ABO的面积为S
如果ABx轴,由对称性不妨记A的坐标为(),此时S
如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为ykxm
 得x2+3(kxm) 2=3,
即 (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,又Δ=36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0,
所以  x1x2=-x1x2
(x1x2)2=(x1x2)2-4 x1x2,  ①
由 | AB |=及 | AB |=
(x1x2)2,                          ②
结合①,②得m2=(1+3k2)-.又原点O到直线AB的距离为
所以S
因此S2[]=[-(-2)2+1]
=-(-2)2
S.当且仅当=2,即k=±1时上式取等号.又,故S max
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