Question

10．△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=$\sqrt{3}$c，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（1）求sinA的值；
（2）若D为AC中点，且△ABD的面积为$\frac{\sqrt{39}}{8}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得sinC的值，再根据2a=$\sqrt{3}$c利用正弦定理求得sinA的值．
（2）求得sinB=sin（A+C）=sinC，可得C=B，c=b．由△ABD的面积为$\frac{\sqrt{39}}{8}$，求得c=b的值，再利用余弦定理求得BD的值．

解答 解：（1）△ABC中，由cosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
再根据2a=$\sqrt{3}$c利用正弦定理可得2sinA=$\sqrt{3}$sinC=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{39}}{8}$，cosA=$\frac{5}{8}$．
（2）sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{39}}{8}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{5}{8}$×$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
故有C=B，c=b．
∵D为AC中点，且△ABD的面积为$\frac{1}{2}$•c•$\frac{c}{2}$•sinA=$\frac{\sqrt{39}}{8}$，求得c=2，即b=2，
∴BD=$\sqrt{{c}^{2}{+（\frac{c}{2}）}^{2}-2c•\frac{c}{2}•cosA}$=$\sqrt{4+1-\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．