题目内容

已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+n,试求出数列{|an|}的前n项和Tn
a1=S1=-+=101.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104.
∵a1也适合an=-3n+104,
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*).
由an=-3n+104≥0,得n≤34.7,即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.
(1)当n≤34时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n.
(2)当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+|a36|+…+|an|
=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an
=2S34-Sn
=2(-×342+×34)-(-n2+n)
=n2-n+3 502.
故Tn=

对于带绝对值号的数列求和问题,应先弄清n取什么值时an>0或an<0,然后求解.本题的易错点在于对n在什么范围内取值时an>0或an<0的讨论.应注意的是当n≥35时,|an|=-an也是一个等差数列,在这种情况下如何求和的问题要掌握好.由Sn=-n2+n,知Sn是关于n的常数项为0的二次式,所以{an}是等差数列,进而求出通项an,然后再判断哪些项为正的,哪些项为负的,最后求?出Tn
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