Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）若函数存在两个零点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）最大值是；（2）证明见解析．

【解析】

（1）求出导数，由导数确定单调性后可得最大值．

（2）由（1）知两个零点，，，零点间关系是，变形为，引入变量，则，，，要证的不等式等价变形为，，即证，（），为此引入新函数，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．

（1）函数定义域是，由题意，

当时，，递增，当时，，递减，

所以时，取得唯一的极大值也是最大值．

（2）由（1），即时，有两个零点，（），则，，

由，得，

令，则，，，

，显然成立，

要证，即证，

只要证，即证，（），

令，，

，，

令，则，，

令，

，，

令，

，时，是减函数，所以时，，

所以是减函数，，即（），

所以是减函数，，所以，在时是减函数，

，即，所以在上是减函数，，

所以，即，

综上，成立．