Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，过作斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆.当时，圆的半径为2.

（1）求的方程；

（2）已知点，对任意的斜率，圆上是否总存在点满足，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.

【解析】

（1）依题意，不妨设在第一象限，当时，，，由圆的直径可求得，可得抛物线方程.

（2）设直线：，，，联立得，可得出圆的方程，假设存在点满足，则在以为直径的圆上.由圆与圆的位置关系可得解.

（1）依题意，不妨设在第一象限，

当时，，，∴，∴，

∴抛物线方程为.

（2）设直线：，，，

由得，∴，，

∴，

∴圆的半径.

又，，∴.

∴圆的方程为.

即，

假设存在点满足，则在以为直径的圆上.

∴，圆的半径.

法一：（i）若，圆心距，

∵，

∴圆与圆内切，有一个交点；

（ii）当时，，重合，，

所以对任意的，圆上存在点，使得.

法二：（i）当时，圆：，即.

联立，

①-②得：即，代入②得：

.

，

所以两圆相切，有一个交点.

（ii）当时，，重合，，

即对任意的，圆上存在点，使得.