题目内容
5.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2$\sqrt{6}$.(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向.
(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;
(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.
分析 (Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2-b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2$\sqrt{6}$,得到$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}$=1,解得即可求出;
(Ⅱ)设出点的坐标,(1)根据向量的关系,得到(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;
(2)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.
解答 解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,
∴a2-b2=1,①,
又C1与C2的公共弦长为2$\sqrt{6}$,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,
由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±$\sqrt{6}$,$\frac{3}{2}$),
所以$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}$=1,②,
联立①②得a2=9,b2=8,
故C2的方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
(1)因为$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向,且|AC|=|BD|,
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$,
从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是
(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4,③
设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$,得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,④
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$,得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x4=$\frac{-16k}{9+8{k}^{2}}$,x3x4=-$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$,⑤
将④⑤代入③,得16(k2+1)=$\frac{1{6}^{2}{k}^{2}}{(9+8{k}^{2})^{2}}$+$\frac{4×64}{9+8{k}^{2}}$,
即16(k2+1)=$\frac{1{6}^{2}×9({k}^{2}+1)}{(9+8{k}^{2})^{2}}$,
所以(9+8k2)2=16×9,
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
(2)由x2=4y得y′=$\frac{1}{2}$x,
所以C1在点A处的切线方程为y-y1=$\frac{1}{2}$x1(x-x1),
即y=$\frac{1}{2}$x1x-$\frac{1}{4}$x12,
令y=0,得x=$\frac{1}{2}$x1,
M($\frac{1}{2}$x1,0),
所以$\overrightarrow{FM}$=($\frac{1}{2}$x1,-1),
而$\overrightarrow{FA}$=(x1,y1-1),
于是$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$x12-y1+1=$\frac{1}{4}$x12+1>0,
因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角,
故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.
点评 本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于k的方程,计算量大,属于难题.