Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，且a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列
（1）求q的值和{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{{{log}_2}{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+2=qa_n、a₁、a₂，可得a₃、a₅、a₄，利用a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，写出数列{b_n}的前n项和T_n、2T_n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．

解答 解：（1）∵a_n+2=qa_n（q为实数，且q≠1），n∈N^*，a₁=1，a₂=2，
∴a₃=q，a₅=q²，a₄=2q，
又∵a₂+a₃，a₃+a₄，a₄+a₅成等差数列，
∴2×3q=2+3q+q²，
即q²-3q+2=0，
解得q=2或q=1（舍），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知b_n=$\frac{{{{log}_2}{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，
记数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+4•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴2T_n=2+2+3•$\frac{1}{2}$+4•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
两式相减，得T_n=3+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=3+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-2}]}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=3+1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．