题目内容

(本小题满分12分)
如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,,AA1=4,点D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

(1)  略
(2)  
(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,



∴ AC⊥BC,                                           …………………2分
又 AC⊥,且
∴ AC⊥平面BCC1,又平面BCC1        ……………………………………4分
∴ AC⊥BC           ………………………………………………………………5分
(Ⅱ)解法一:取中点,过,连接        …………6分
中点,
 ,又平面
平面
平面平面

 又
平面平面        ………8分
  又
是二面角的平面角     ……………………………………10分
AC=3,BC=4,AA1=4,
∴在中,
      …………………………………………11分
∴二面角的正切值为 …………………………………………12分
解法二:以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分
AC=3,BC=4,AA1=4,
 


平面的法向量,    …………………8分
设平面的法向量
的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小  …………9分
则由  令,则                                         ………………10分
   ……………11分
∵二面角是锐二面角
∴二面角的余弦值为   ………………………… 12分
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